Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
FISICA

Istituzioni di Metodi Matematici

6

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 32 24 0 125

Periodo

AnnoPeriodo
II anno2 semestre

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
03/03/201414/06/2014

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
affine/integrativo Nessun ambitoFIS/026


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. MATONE MARCOFIS/02Dipartimento di Fisica e Astronomia "Galileo Galilei"

Altri Docenti

Non previsti

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste

Bollettino

Adeguate conoscenze dei contenuti dei corsi di analisi matematica. In particolare, la teoria della misura di Lebesgue, svolta ad analisi III, è considerata prerequisito.

Adeguata conoscenza dell'analisi complessa, della serie e della trasformata di Fourier, degli spazi Hilbert e della teoria delle distribuzioni.

Lezioni frontali.

A. Funzioni analitiche 1. Condizioni di Cauchy-Riemann. 2. Laplaciano su C. Funzioni armoniche e analitiche. Determinazione di una funzione analitica dalla sua componente reale o immaginaria. 3. Trasformazioni conformi e funzioni analitiche. 4. Integrazioni su C. Disuguaglianza di Darboux. Teorema di Cauchy. Teorema di Morera. Rappresentazione integrale di Cauchy. Teorema della media. Teorema di Liouville. 5. Studio delle serie nel campo complesso. Teorema di Weierstrass sulle serie. 6. Serie di Taylor. Serie di Laurent. 7. Zeri e poli di una funzione. Singolaritμa isolate. Singolarità essenziali isolate e non. Teoremi di Casorati-Weierstrass e di Picard sulle singolarità essenziali (enunciati). Punto all'infinito. Residui. 8. Teorema dei residui. Residuo all'infinito. 9. Funzioni intere, meromorfe e razionali. Indicatore logaritmico. Teorema fondamentale dell'algebra e residui della derivata logaritmica di polinomi. Principio dell'argomento e indice di avvolgimento. 10. Lemma di Jordan e sue applicazioni. 11. Integrazione nell'ambito della teoria dei residui, integrazione di funzioni trigoniometriche, integrazioni riconducibili ad integrazioni gaussiane. 12. Parte principale di un integrale. La prescrizione epsilon. Rappresentazione integrale della funzione di Heavside. B. Spazi Lp, serie di Fourier, spazi di Banach e di Hilbert 1. Spazi vettoriali infinito dimensionali. Notazione di Dirac. Prodotto scalare. 2. Funzioni quasi dappertutto nulle. Funzioni a quadrato sommabili. 5. Numerabilità dei sistemi O.N. in L2. Approssimazione in media e completezza. 6. Spazi di Banach. Equivalenza tra continuità e limitatezza dei funzionali lineari su spazi di Banach. Spazi Lp. Disuguaglianza di Holder. 7. Spazi pre-hilbertiani. Disuguaglianza di Schwarz. Spazi di Hilbert. Isomorfismi e operatori unitari. Sottospazi chiusi di spazi di Hilbert e loro ortogonali. Teorema della proiezione (enunciato). 8. Lemma di Riesz. 9. Sistemi completi in L2, polinomi ortogonali, formula di Rodriguez, polinomi di Jacobi, Gegenbauer, Legendre, Laguerre, Hermite. C. Distribuzioni 1. Funzioni di prova, funzioni a supporto compatto. Lo spazio delle funzioni test di Schwartz S e delle distribuzioni temperate S'. Iniezioni di S e Lp in S'. 2. Distribuzioni temperate regolari. Trasformazioni lineari e loro azioni su S'. Derivata di una distribuzione. 3. Funzione di Heavside, delta di Dirac. 4. Spazio dei moltiplicatori. 5. Convoluzione. 6. Trasformata di Fourier. Teoremi di Fourier, Plancherel, Riemann-Lebesgue (enunciati). 7. Trasformata di Fourier di una convoluzione. 8. Funzioni di Green.

Prova scritta e orale

Prova scritta e successiva prova orale sui contenuti del Corso elencati nel programma.

C. Rossetti, Metodi Matematici della Fisica. : Levrotto e Bella, 2000 C. Rossetti, Esercizi di Metodi Matematici. : Levrotto e Bella, 2001 M. Reed e B. Simon, Functional Analysis I. : Academic Press, 1980 Logunov, A.I. Oksak e I.T. Todorov, General Principles of Quantum Field Theory, Series: Mathematical Physics and Applied Mathematics, Vol. 10,. : Springer, 1990

Sono disponibili delle dispense relative riguardanti: completamento di argomenti di analisi complessa, spazi di Banach e di Hilbert, teoria delle distribuzioni, trasformata di Fourier e funzioni di Green. Sono anche disponibili i testi di tutte le prove scritte, risolte e commentate, del periodo 2008-2013