Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA

Analisi matematica 1

14

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 64 60 0 113

Periodo

AnnoPeriodo
I annoannuale

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Lingua

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
01/10/201321/06/2014

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
baseFormazione matematica di baseMAT/0514


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. MONTI ROBERTOMAT/05Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Prof. MARCONI UMBERTOIstituzionaleMAT/05Dipartimento di Matematica

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste

Bollettino

Conoscenze di base delle scuole secondarie: algebra e geometria elementare, geometria analitica, equazioni e disequazioni, trigonometria, potenze e logaritmi.

Il corso e' un'introduzione alle prime nozioni di Analisi Matematica, al calcolo differenziale e al calcolo integrale di funzioni di una variabile reale. Lo studente deve essere in grado di affrontare problemi, risolvere esercizi, apprendere in modo consapevole definizioni ed anunciati di teoremi con le relative dimostrazioni.

Lezioni alla lavagna. Risoluzione di esercizi in classe. Pagina internet del corso. Attività di tutorato (da confermare). Il corso è articolato in un modulo A (primo semestre) e in un modulo B (secondo semestre).

Numeri reali. Descrizione assiomatica di R. Estremo superiore e inferiore. Densità dei razionali. Equipotenza fra insiemi. Numerabilità di Z e di Q. Successioni reali e complesse. Limiti e proprietà. Limiti di successioni monotone. Sottosuccessioni. Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Successioni di Cauchy e completezza di R. Definizione di serie reale e complessa, convergenza e divergenza. Criterio di convergenza di Cauchy. La serie geometrica. Serie reali a termini positivi; criterio del confronto. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Convergenza assoluta. Criterio del rapporto e della radice per serie reali e complesse. Criterio di condensazione. Criterio di Leibniz. Serie di potenze; raggio di convergenza. Riordinamenti. Esponenziale, seno e coseno di un numero complesso: definizioni, formule di Eulero, proprietà elementari. Spazi metrici. Nozioni di topologia elementare: aperti, chiusi, intorni, punti di accumulazione, chiusura, interno, frontiera. Limiti di successioni e di funzioni. Funzioni continue. Compattezza. Le funzioni continue conservano la compattezza. Teorema di Weierstrass. Funzioni Lipschitziane. Funzioni uniformemente continue. Spazi metrici completi. Relazioni tra completezza e compattezza. Cenni sulla connessione. I connessi di R sono gli intervalli. Definizioni equivalenti di limite di funzione reale di variabile reale. Limiti destri e limiti sinistri; limiti all’infinito. Teoremi sui limiti. Limite per le funzioni monotone. Il limite della funzione composta. Cambiamento di variabile nei limiti. Definizione di derivata. Relazione tra derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Derivata di somma, prodotto, reciproco e quoziente. Derivata delle funzioni composta e inversa. Integrale secondo Riemann: linearità e isotonia. Integrabilità locale delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di funzioni elementari. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Il Teorema della media per gli integrali. Teoremi classici del calcolo differenziale. Massimi e minimi locali e annullamento della derivata prima. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy, e loro conseguenze. Regola di de L’Hospital. Derivate successive. Infinitesimi, o-piccolo, O-grande, asintoticità. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano, integrale e Lagrange. Sviluppabilità in serie di Taylor e definizione di funzione analitica. Massimi e minimi locali e condizioni del secondo ordine. Funzioni convesse. Convessità, derivata prima e derivata seconda. Studio del grafico di una funzione. Definizione di integrale generalizzato. Il criterio del confronto per funzioni positive. Funzioni assolutamente integrabili. Il criterio di asintoticità e il criterio di Abel-Dirichlet. Il criterio dell’integrale per la convergenza di una serie.

L'esame consiste in una prova scritta con esercizi e problemi da risolvere e in una prova orale di verifica sulle conoscenze teoriche acquisite.

Sarà valutata la capacita' di impostare e risolvere problemi impiegando in modo corretto il linguaggio logico-matematico. Lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito i concetti fondamentali e le principali tecniche di dimostrazione.

Giuseppe De Marco, Analisi Uno. Bologna: Decibel-Zanichelli, Giseppe De Marco - Carlo Mariconda, Esercizi di calcolo in una variabile. Bologna: Decibel - Zanichelli, 2001 Enrico Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica. Torino: Boringhieri, 2000 G. F. Simmons, Calculus with Analytic Geometry. New York: McGraw-Hill, 1996 Tom M. Apostol, Mathematical Analysis. : Addison-Wesley, 1974 Walter Rudin, Principi di Analisi Matematica. Milano: McGraw-Hill, 1991

Oltre ai testi di riferimento gli studenti avranno a disposizione materiali didattici integrativi in rete.