Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA


14

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 64 60 0 113

Periodo

AnnoPeriodo
II annoannuale

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
01/10/201412/06/2015

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teoricaMAT/0514


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Dott. ROSSI LUCAMAT/05Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Prof. VITTONE DAVIDEIstituzionaleMAT/05Dipartimento di Matematica

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste.

Bollettino

Propedeuticita`: Analisi Matematica 1. Calcolo differenziale ed integrale in una variabile. Topologia elementare della retta e del piano, nozioni di base su equazioni differenziali.

Nozione di spazio normato; fondamenti della teoria delle funzioni di più variabili, specie negli aspetti differenziali ed integrali; approfondimento della teoria delle equazioni differenziali ordinarie; varietà differenziali; teoria dell'integrazione alla Lebesgue.

Lezioni frontali alla lavagna oppure su tablet; eventuale tutorato.

Prima parte (8 cfu): 1.1. Spazi metrici e funzioni continue. Spazi metrici. Nozioni di topologia elementare: aperti, chiusi, intorni, punti di accumulazione e punti isolati, chiusura, interno, frontiera. Limiti di successioni e di funzioni negli spazi metrici. Funzioni continue. Funzioni lipschitziane. Teorema di estensione. Spazi metrici completi. Compattezza negli spazi metrici. Cenni sulla connessione, connessi di R. 1.2. Spazi normati. Definizioni e proprietà generali. Equivalenza delle norme in dimensione finita. Spazi di Banach; convergenza normale delle serie. Continuità delle funzioni lineari (multilineari). Teorema del punto unito di Banach-Caccioppoli. 1.3. Convergenza uniforme. Definizione, sup-norma, completezza. Continuità del limite uniforme di funzioni continue. Teorema del limite. Serie e convergenza totale. Esponenziale di un operatore. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e sotto il segno di derivata. 1.4 Curve. Derivate, vettore tangente, teorema del valor medio. Rettificazione delle curve. 1.5. Derivate per funzioni di più variabili. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Derivazione secondo un vettore. Derivate parziali. Teorema del valor medio. Differenziale. Gradiente. Matrice jacobiana. Teorema del differenziale totale. Regole di differenziazione, regola della catena nei vari casi particolari. Differenziali e derivate di ordine superiore al primo. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor. Matrici hessiane. Massimi e minimi locali per funzioni di più variabili reali. 1.6 Funzioni implicite-Inversione locale. Differenziazione rispetto ad un sottospazio e teorema della mappa implicita. Teorema della mappa inversa, diffeomorfismi locali e globali. 1.7. Equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy. Generalità: legame tra equazioni e sistemi. Teoremi di Cauchy-Lipschitz di esistenza e unicità locale e globale. Soluzioni massimali; applicazioni allo studio qualitativo delle soluzioni. Esistenza globale nel caso sublineare. Sistemi lineari del primo ordine: matrice risolvente, formula di variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Equazioni lineari di ordine n e matrice Wronskiana. Seconda parte (6 cfu): 2.1. Varietà differenziali Varietà immersa in uno spazio euclideo, spazio tangente. Massimi e minimi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 2.2. Misura ed integrale di Lebesgue. Definizione di insieme misurabile e di misura di Lebesgue. Proprietà della misura di Lebesgue. Funzioni misurabili: definizione e principali proprietà. Definizione di integrale di Lebesgue e sue proprietà fondamentali. Teoremi di passaggio al limite: convergenza monotona e dominata. Integrali dipendenti da parametro: continuità e differenziabilità. Legame con l’integrale di Riemann. Formula di riduzione: teoremi di Tonelli e Fubini. Formula di cambiamento di variabili; coordinate sferiche e cilindriche. 2.3. Integrazione su superficie. Misura e integrazione su una varietà parametriche. Formula di integrazione per sfere. Orientazione di una varietà e vettori normali. Frontiera regolare e aperti di classe Ck. Flusso uscente da un dominio; aperti stokiani; teorema della divergenza; formule di Green e di Stokes. 2.4. Campi vettoriali e forme differenziali di grado 1. Integrali curvilinei. Forme esatte. Forme chiuse. Omotopia di circuiti. Lemma di Poincaré. Aperti di Rn semplicemente connessi. 2.5. Complementi di Topologia. Topologia prodotto, norma prodotto. Funzioni uniformemente continue; caso del dominio compatto. Relazioni tra completezza e compattezza.

Prova scritta sull'intero programma e prova orale facoltativa oppure su richiesta del docente.

Padronanza delle nozioni del corso, rigore e completezza, correttezza delle soluzioni, chiarezza espositiva.

Giuseppe De Marco, Analisi due. : Zanichelli, 1999 Giuseppe De Marco, Carlo Mariconda, Esercizi di calcolo in più variabili. : Zanichelli, 2002