Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA


6

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 24 24 0 150

Periodo

AnnoPeriodo
III anno2 semestre

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
02/03/201512/06/2015

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teoricaMAT/046


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. ZANARDO ALBERTOMAT/01Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Prof. VALENTINI SILVIOIstituzionaleMAT/01Dipartimento di Matematica

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste.

Bollettino

Nozioni elementari di algebra. Cenni di teoria degli insiemi.

Conoscenza delle problematiche sui fondamenti della matematica, specialmente in relazione alla costruzione dei Numeri Reali e alla rilevanza degli assiomi dell'Infinito e della Scelta

Lezioni in aula.

Campi ordinati e campi ordinati archimedei. Sezioni su un campo ordinato archimedeo. Successioni di Cauchy sui razionali. Allineamenti decimali. Corrispondenza tra sezioni, successioni di Cauchy e allineamenti decimali. Campi ordinati completi I numeri reali. Numeri reali come classi di equivalenza di quasi-omomorfismi da Z in Z. Risultati sulla cardinalità dell'insieme R dei numeri reali (algebrici e trascendenti) e dell'insieme delle funzioni da R in R. Irrazionalità di e e di pi greco. Trascendenza di e. Teorema di Dirchlet e Teorema di Liouville. Richiami di teoria degli insiemi: definizione di base, formalizzazione della matematica, la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. L'assioma dell'infinito: i numeri naturali e l'aritmetica di Peano, la teoria degli insiemi finiti, interpretazione dei numeri naturali negli insiemi finiti e viceversa. Gli ordinali: nozione di tipo d'ordine, induzione transfinita, aritmetica ordinale, forma nomale di Cantor, l'ordinale epsilon_0. Vero ma non dimostrabile: il teorema di Goodstein (enunciato, dimostrazione ed indipendenza dall'aritmetica di Peano), il teorema delle idre (enunciato, dimostrazione ed indipendenza dall'aritmetica di Peano) L'assioma di scelta: varie formulazioni equivalenti dell'assioma di scelta, lemma di Zorn, principio del buon ordinamento. Prime conseguenze dell'assioma di scelta: costruzioni di ultrafiltri e ideali massimali, esistenza della base di uno spazio vettoriale. Richiami sulla nozione di misura, misura di Peano-Jordan, misura di Lebesgue, esistenza di insiemi non misurabili secondo Lebesgue (teorema di Vitali e cenni al paradosso di Banach-Tarski). Richiami di topologia, spazi topologici compatti, prodotto topologico finito ed arbitrario, equivalenza tra il teorema di Tychonoff e l'assioma della scelta

Esame scritto, con eventuale integrazione orale.

Viene valutata la correttezza formale e l'eventuale creatività nella risoluzione di esercizi e nella dimostrazione di teoremi inerenti ai contenuti del corso.

Alberto Zanardo, Costruzione della struttura dei numeri reali. : , Silvio Valentini, Appunti di Fondamenti della Matematica. : ,