Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA


12

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 48 48 0 100

Periodo

AnnoPeriodo
II anno2 semestre

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
27/02/201709/06/2017

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione modellistico-applicativaMAT/0712


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. CARDIN FRANCOMAT/07Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Dott.ssa BERNARDI OLGAAffidamentoMAT/07Dipartimento di Matematica
Dott. FAVRETTI MARCOAffidamentoMAT/07Dipartimento di Matematica

Attività di Supporto alla Didattica

Esercitatore
Dott.ssa ZOPPELLO MARTA

Bollettino

Propedeuticita`: Analisi Matematica 1, Geometria 1. Analisi Matematica Uno e primi rudimenti di Analisi Matematica Due. Nozioni elementari sulle equazioni differenziali ordinarie e del teorema del Dini. Teoria introduttiva dell'integrazione. Geometria elementare di curve e algebra delle matrici.

Il corso concorre, nella parte ( nei primi 4 CU) a costruire delle abilita' elementari modellistiche, di determinazione di traiettorie e di analisi qualitativa di esse mediante l'introduzione e l'uso della teoria elementare rigorosa dei sistemi dinamici e delle equazione differenziali ordinarie. Nella parte seconda (8 CU) si introduce l'applicazione fondamentale storica della teoria dei sistemi dinamici, la Meccanica Classica dei sistemi vincolati. Emerge in tale studio la conoscenza e l'uso elementare delle varieta' differenziali, stabilendo un intreccio culturale sia con l'analisi matematica sia con la geometria che si sviluppano contemporaneamente nel secondo anno della laurea triennale. Teoria della stabilita', Due corpi newtoniani, dinamica del Corpo Rigido, principi variazionali ed equazioni di Lagrange. Si introduce infine l'abilita' di tradurre la meccanica analitica Lagrangiana in formato Hamiltoniano: tale abilita' e' di importanza notevole in scenari scientifici anche ben diversi dalla meccanica standard, verso la teoria del controllo (equazione di Hamilton-Jacobi) oppure ancora verso la meccanica quantistica, ove e' fondamentale un primitivo impianto classico Hamiltoniano.

lezioni frontali ed esercitazioni

FM-1: Richiami sulle ODE, Analisi qualitativa: flusso, spazio delle fasi, orbite, ritratti in fase, equilibri. Linearizzazione attorno ad un equilibrio. Equilibri iperbolici ed ellittici. Ritratti in fase dei sistemi lineari nel piano reale. Sottospazi stabile, instabile e centrale. Insiemi invarianti ed integrali primi. Derivata di Lie. Riduzione dell'ordine per mezzo di un integrale primo. Ritratti in fase dell'equazione Newton 1-dimensionale. Esempi di biforcazioni. Cambi di coordinate e coniugazione di campi vettoriali. Il teorema di rettificazione locale. Riparametrizzazioni temporali. Equilibri attrattivi. Stabilit\`a degli equilibri. Primo Metodo, spettrale, di Lyapunov. FM-2: Spazi Inerziali, riferimenti. P.ti materiali, massa. Spazio delle Configurazioni e delle Fasi sistemi di p.ti liberi. Leggi Forza. Vincoli: p.to di vista geometrico, olonomi e anolonomi. Uso del t. Dini per la loro descrizione locale. Immersione vincolare. Spazio tangente. Vincoli: p.to di vista dinamico, Reazioni Vincolari. Esempi: vincoli privi di attrito. Moti Dinamicamente Possibili. Equazioni di Galilei-Newton per i sistemi vincolati. Triedro di Frenet. Particella vincolata su guida senza attrito con forza attiva puramente posizionale. Determinazione delle Reazioni Vincolari mediante il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange. Sistemi di forze posizionali associata 1-forma differenziale lavoro, caso conservativo, energia potenziale. Moti rigidi, velocit\`a angolare, Cinematica Relativa. Teoremi di Galilei e Coriolis. `Equilibrio Meccanico'. Stabilit\`a di Equilibri Meccanici. Vincoli Ideali (o Lisci). Principio-Teorema di D'Alembert e dei Lavori Virtuali. Teorema delle Forze Vive. Teorema generale di Conservazione dell'Energia. Stabilit\`a: Secondo Metodo di Lyapunov per la stabilit\`a. Teorema di Lagrange-Dirichlet. Teorema dell'Hessiano non-degenere. Stabilit\`a giroscopica e sua fragilit\`a con l'introduzione di eventuali viscosit\`a. Equazioni di Lagrange. Forma normale. Piccole Oscillazioni attorno ad equilibri stabili: applicazione del problema della linearizzazione. Integrali primi delle Equazioni di Lagrange: di ciclicit\`a, e di indipendenza dal tempo: int. di Jacobi. Invarianza geometrica, `in forma', delle Equazioni di Lagrange per cambi di coordinate locali (invarianza rispetto al gruppo di diffeomorfismi locali). Geometria e dinamica del Corpo Rigido: Spazio delle Configurazioni del C.R. Libero. Equazioni Cardinali, Operatore d'Inerzia, Equazioni di Euler, rotazioni uniformi del C. R. scarico, discussione della loro stabilit\`a. Descrizione alla Poinsot. Giroscopio. Principio Variazionale di Hamilton. Relazioni tra i moti spontanei su variet\`a liscie e le geodetiche. Geodetiche su superfici di rivoluzione: teorema di Clairaut. Bolle di sapone (un problema elementare di Plateau). Teorema di Routh. Simmetrie: teorema di Noether. Problema dei Due Corpi: Legge di Newton, Massa ridotta, Moti piani, Moti centrali, Velocit\`a areolare, Formule di Binet, Coniche, Deduzione delle leggi di Kepler dalle soluzioni. Cenno sulle strutture `tangente' e `cotangente' ad una variet\`a vincolare. Trasformazione di Legendre e equazioni di Hamilton. Principio Variazionale di Hamilton-Helmholtz. Cenni sulle Trasformazioni Canoniche: teorema di caratterizzazione. I flussi di sistemi Hamiltoniani sono tr. canoniche 1-valenti. Parentesi di Lie, parentesi di Poisson, anti-morfismo d'algebra, sotto-algebra degli integrali primi, teorema di Noether Hamiltoniano.

Esame in forma scritta, comprensivo di quesiti teorici e di esercizi e problemi.

La valutazione si basa sulla capacità del candidato di risolvere esercizi, sullo studio delle strutture analitiche e dinamiche introdotte nel corso, sapendone verificare le principali proprietà.

F. Cardin, Sistemi Dinamici Meccanici. www.math.unipd.it/~cardin: (dispensa), 2016 T. Levi-Civita & U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale. : Compomat, 2013 A. Fasano & S. Marmi, Meccanica Analitica. : Bollati Boringhieri, 2002 F. Fasso`, Primo sguardo ai sistemi dinamici. : Cleup, 2016 V. Arnol'd, Metodi Matematici della Meccanica Classica. : Editori Riuniti, 1978

Nelle pagine web dei docenti del Dipartimento di Matematica di Padova coinvolti in questi ultimi anni nel corso di Fisica Matematica (Franco Cardin, Francesco Fasso', Marco Favretti e Olga Bernardi) sono scaricabili dispense e collezioni di esercizi risolti.