Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA


14

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 64 60 0 175

Periodo

AnnoPeriodo
II annoannuale

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
01/10/201609/06/2017

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teoricaMAT/0314


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Dott. CAILOTTO MAURIZIOMAT/03Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Prof. BALDASSARRI FRANCESCOIstituzionaleMAT/03Dipartimento di Matematica

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste.

Bollettino

Il corso ha come propedeuticita` il corso di Geometria 1 (algebra lineare e geometrie affini ed euclidea), e come prerequisiti anche i corsi di Algebra 1 e Analisi Matematica 1 (calcolo in una variabile). Si useranno anche alcuni argomenti svolti in parallelo nel corso di Analisi Matematica 2 (calcolo differenziale in due variabili).

Nella prima parte del corso lo studente acquisisce le nozioni fondamentali riguardanti lo studio delle forme bilineari e quadratiche, della Geometria Proiettiva (e relazioni con le Geometrie Affine ed Euclidea), delle proprieta` e classificazioni (proiettive, affini ed euclidee) di coniche e quadriche. Nella seconda parte acquisisce i concetti fondamentali di Topologia Generale, e della Geometria Differenziale delle curve e delle superficie immerse nello spazio euclideo tridimensionale.

Le lezioni sono svolte in modo tradizionale alla lavagna, integrando le lezioni di teoria con lezioni di esercitazioni; e` sempre invitata la partecipazione degli studenti sia alle lezioni, sia proponendo problemi su cui esercitarsi. Possibilmente sara` organizzato un tutorato specifico del corso per favorire una maggiore interazione.

-- Forme Bilineari e Quadratiche: definizione e propriet`a delle forme bilineari e relazioni con le forme quadratiche. Matrici associate a forme bilineari; congruenza di matrici. Ortogonalita`, teorema di decomposizione ortogonale, basi ortogonali; vettori e sottospazi isotropi. Classificazione delle forme bilineari alternanti (spazi simplettici). Classificazione delle forme bilineari simmetriche complesse e reali. Nozione di isometria per forme bilineari alternanti e simmetriche non degeneri. Cenni sulle forme hermitiane complesse. Aggiunzione tra applicazioni lineari; morfismi autoaggiunti, normali; teorema spettrale (complesso e reale). -- Geometria Proiettiva: introduzione dei punti all'infinito. Spazi proiettivi, spazi duali, principio di dualita` proiettiva. Varieta` lineari proiettive, posizioni reciproche, formula di Grassmann. Applicazioni proiettive e proiettivita`. Rapporto tra spazi affini, euclidei e proiettivi. Retta proiettiva, birapporto, armonia, quarto armonico. Piano proiettivo e costruzioni classiche, teorema di Desargues. -- Coniche e Quadriche: generalit`a, polarita` associata. Rette e piani tangenti. Duali. Classificazione proiettiva reale e complessa; razionalita` di coniche irriducibili. Classificazione affine reale e complessa, classificazione euclidea reale (parametri e loro calcolo). Fasci di coniche. Teorema di Pascal (duale: Brianchon). Schiere di rette sulle quadriche rigate; mappa di Segre. Cerchi sulle quadriche. -- Curve differenziali: regolarita`, parametrizzazioni, lunghezza d'arco, curvatura e torsione, riferimenti e formule di Frenet, teorema fondamentale di esistenza, esempi fondamentali. -- Superficie differenziabili: descrizioni locali, piani tangenti e differenziali di mappe, prima forma fondamentale, applicazioni di Gauss e di Weingarten, seconda forma fondamentale; curvature principali e di Gauss, tipi di punti; curve sulle superficie: linee di curvatura, asintotiche, geodetiche; equazioni differenziali delle geodetiche. -- Topologia: definizione (aperti, chiusi, intorni, operatori di chiusura e interno, filtri e reti, limiti), funzioni continue, proprieta` di numerabilita` e separazione, connessione, compattezza; spazi metrici e spazi completamente regolari; esempi e controesempi vari. -- Cenni sulle superficie reali compatte: classificazione topologica (orientabilita` e genere, caratteristica di Eulero Poincare').

Esame scritto per la verifica delle competenze di base per lo studio e la classificazione degli oggetti geometrici studiati, seguito da una discussione orale sugli aspetti teorici del programma.

La valutazione si basa sulla capacita` del candidato di risolvere esercizi di classificazione e studio degli oggetti geometrici introdotti, e di verificare le principali proprieta` di semplici spazi topologici. L'esame orale contribuisce alla valutazione dando al candidato la possibilita` di mostrare le competenze teoriche acquisite e la capacita` di applicarle in qualche caso specifico.

Maurizio Cailotto, AGLQ (Algebra e Geometria Lineari e Quadratiche). : , Maurizio Cailotto, T&Ge (Topologia e Geometria elementari). : ,

Aggiornamenti sul corso, dispense aggiornate, ulteriori indicazioni bibliografiche, esami degli anni passati sono presenti sulla pagina web del docente (www.math.unipd.it/~maurizio/).