Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA ORD. 2011


8

Curriculum Generale

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 32 32 0 136

Periodo

AnnoPeriodo
I anno1 semestre

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Inglese

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
01/10/201620/01/2017

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teorica avanzataMAT/022
caratterizzanteFormazione teorica avanzataMAT/033
caratterizzanteFormazione teorica avanzataMAT/053


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. BALDASSARRI FRANCESCOMAT/03Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

Non previsti.

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste.

Bollettino

Un corso standard di Algebra di livello base; sarebbe molto utile avere già seguito un breve corso di Teoria di Galois; Algebra Lineare; i corsi di Analisi 1 e 2. Sarebbe bene anche avere un po' di familiarità con le funzioni di una variabile complessa.

Corpi di numeri algebrici. Anelli degli interi algebrici; loro determinazione esplicita per corpi quadratici, ciclotomici (e di alcuni corpi cubici). Teoria del discriminante e della ramificazione. Decomposizione di primi. Teoria di Galois e di Hilbert. La legge di reciprocità quadratica. Teoria di Minkowski. Determinazione del gruppo di classi e del gruppo delle unità in casi semplici. Introduzione alla Teoria del Corpo di Classi.

I compitini saranno un controllo della comprensione del corso da parte dello studente. Molto spesso gli esercizio proposti saranno tratti da sezioni del libro indicate precedentemente, allo scopo di incoraggiare gli studenti a cimentarsi con gli esercizi del libro. A ogni studente è offerta l'opportunità di presentare un argomento concordato con il docente in una lezione di 45 minuti durante il corso. Si potrà cosí valutare la capacità espositive dello studente. L'esame orale finale consiste in una lezione da svolgere in sede separata su argomento di livello più elevato.

1. Teoria algebrica di base dei gruppi e anelli commutativi. 2. Fattorizzazione di elementi e di ideali 3. Domini di Dedekind. 4. Corpi di numeri algebrici. Corpi ciclotomici e quadratici. 5. Anelli di interi. Proprietà di fattorizzazione. 6. Estensioni finite, decomposizione, ramificazione. Teoria della decomposizione di Hilbert. 7. Automorfismo di Frobenius, mappa di Artin; 8. Corpi quadratici e ciclotomici. Legge di reciprocità quadratica. Somme di Gauss. 9. Una introduzione alla teoria del corpo di classi (da Kato-Kurokawa-Saito, Vol. 2 Cap. 5). 10. Teoria di Minkowski (finitezza del numero di classi e teorema delle unità). 11. Serie di Dirichlet, funzione zeta, valori speciali e formula per il numero di classi (da Kato-Kurokawa-Saito, Vol. 1). Tutto il materiale si trova comunque nel testo : Daniel A. Marcus "Number Theory", Springer-Verlag. Il nostro programma essenziale consiste dei Capitoli da 1 a 5, con gli esercizi utilizzati nelle dimostrazioni. Le dimostrazioni analitiche nel capitolo 5 non saranno richieste. Si raccomanda la lettura, a scopo culturale, dei due libri di Kato-Kurokawa-Saito, eventualmente saltandone le dimostrazioni.

Si proporrano 3 compitini scritti durante il corso. Il loro scopo è di verificare la comprensione delle lezioni passo-passo. Un esame scritto finale sarà proposto a chi non ha superato i compitini o non è soddisfatto del voto ottenuto. A ogni studente è offerta l'opportunità di presentare un argomento concordato con il docente in una lezione di 45 minuti durante il corso. Un esame orale finale è riservato a chi mira a voti eccezionali.

Si apprezzerà e valuterà sia l'impegno di studio che l'interesse per la materia e la capacità di risolvere problemi.

Daniel A. Marcus, Number Fields. : Springer Universitext, 1977 Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Takeshi Saito, Number Theory 1 (Fermat's Dream) and Number Theory 2 (Introduction to Class Field Theory). : Translations of Math. Monographs Vol. 186 and 240 American Mathematical Society, 2011

E' possibile che uno studente trovi più semplice studiare uno o più argomenti in altri libri di testo o in note di corsi reperibili online. Quando possibile, l'insegnante darà indicazioni su dove reperire tale materiale.