Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
ASTRONOMIA


8

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 40 24 0 136

Periodo

AnnoPeriodo
I anno2 semestre

Frequenza

Obbligatoria

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
26/02/201801/06/2018

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
baseDiscipline matematiche e informaticheMAT/058


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. MONTI ROBERTOMAT/05Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

Non previsti.

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste.

Bollettino

Proramma del corso di Analisi 1

Apprendimento dei fondamenti di calcolo differenziale in piu' variabili

Lezioni di teoria ed esercizi in classe. Lezioni con tablet. Pubblicazione on line delle lezioni.

1) Integrali generalizzati. Integrali impropri su intervallo illimitato: Teorema sulla convergenza assoluta. Teorema sulla convergenza di integrali di tipo oscillatorio. Integrali impropri di funzioni non limitate: criterio del confronto asintotico. 2) Serie. Serie numeriche: Vari criteri di convergenza. Successioni e serie di funzioni: convergenza uniforme. 3) Curve parametriche in $\Rn$. Curve in $\Rn$ e curve regolari. Vettore tangente. Lunghezza di curve e curve rettificabili. Formula della lunghezza. Riparametrizzazione di curve e orientazione. Definizione e proprieta' dell'integrale curvilineo. 4) Spazi metrici e normati. Spazio metrico e spazio normato. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Lo spazio $C([0,1];\Rn)$. Successioni in uno spazio metrico. Funzioni continue fra spazi metrici. Limiti in piu' variabili: esempi ed esercizi. Spazi metrici completi e spazi di Banach. $\R$ ed $\Rn$ sono completi con la distanza Euclidea. $C([0,1];\Rn)$ \`e uno spazio di Banach con la norma uniforme. Convergenza puntuale e convergenza uniforme di successioni di funzioni. Cenno al teorema sullo scambio dei limiti. Teorema delle contrazioni. Insiemi aperti e chiusi in uno spazio metrico. Interno, chiusura e frontiera di un insieme. Caratterizzazione sequenziale della chiusura. Caratterizzazione topologia della continuita'. Spazi metrici e insiemi compatti. Teorema di Heine-Borel. L'immagine continua di un compatto e' compatta. Teorema di Weierstrass. Spazi e insiemi connessi. L'intervallo $[0,1]$ e' connesso. L'immagine continua di un connesso e' connessa. Spazi connessi per archi. 5) Calcolo differenziale in $\Rn$. Derivate parziali e derivate direzionali. Matrice Jacobiana e gradiente. Richiami sulle trasformazioni lineari. Funzioni differenziabili e differenziale. Spazio tangente al grafico di funzione. Matrice Jacobiana. Le funzioni di classe $C^1$ sono differenziabili. Teorema sul differenziale della funzione composta. Teorema del valor medio. Derivate successive. Funzioni di classe $C^\infty$. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor in piu' variabili. Matrice Hessiana. Richiami sulle forme quadratiche: matrici definite e semidefinite. Punti critici e punti di estremo locale. Condizione necessaria al primo ordine per i punti di estremo locale. Condizione necessaria al secondo ordine per i punti di estremo locale. Condizione sufficiente al secondo ordine per i punti di estremo locale stretto. Matrici simmetriche $2\times2$ definite positive e negative. Punti di sella. 6) Invertibilita' locale e funzione implicita. Diffeomorfismi e diffeomorfismi locali. Teorema di invertibilita' locale. Teorema della funzione implicita. Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

L'esame prevede una prova scritta in cui lo studente deve risolvere problemi ed esercizi ed una prova orale in cui lo studente deve dimostrare di aver compreso gli argomenti (definizioni, teoremi e dimostrazioni) spiegati nel corso. Per accedere alla prova orale e' necessario superare quella scritta. Non sono previsti compitini.

1 - Capacita' di risolvere problemi ed esercizi sugli argomenti trattati nel corso. 2 - Capacita' di esporre in modo consapevole i contenuti teorici spiegati nel corso.

CONTENUTO NON PRESENTE

- Dispense del docente disponibili in rete, aggiornate settimanalmente. - Fogli di esercizi settimanali messi in rete.