Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA


14

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 64 60 0 113

Periodo

AnnoPeriodo
II annoannuale

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
02/10/201701/06/2018

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teoricaMAT/0514


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Dott. GUIOTTO PAOLOMAT/05Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Prof. SORAVIA PIERPAOLOIstituzionaleMAT/05Dipartimento di Matematica

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste.

Bollettino

Calcolo differenziale e integrale in una variabile, topologia elementare, algebra lineare.

Nel corso si acquisiscono competenze e abilità del calcolo differenziale e integrale in più variabili per trattare problemi che coinvolgano funzioni di più variabili (ad es: ottimizzazione, anche vincolata; calcolo aree e volumi, anche in dimensione superiore). Si introduce inoltre alla teoria delle equazioni differenziali, con particolare attenzione alle questioni di esistenza e unicità ed allo studio qualitativo delle soluzioni.

Lezioni frontali in aula.

Primo semestre (8CFU). 1. Elementi di topologia negli spazi metrici --- aperti, chiusi, compatti, limiti, continuità, funzioni lipschitziane, spazi completi e contrazioni, connessione. 2. Spazi normati --- norma e sue proprietà, esempi finito e infinito dimensionali, equivalenza delle norme in dimensione finita, serie e serie normalmente convergenti. 3. Convergenza uniforme --- limiti di funzioni continue, passaggio al limite sotto derivazione e integrazione, serie e serie di potenze, convergenza totale. 4. Elementi di teoria delle curve --- vettore tangente, lunghezza di una curva, rettificabilità, ascissa curvilinea. 5. Calcolo differenziale e applicazioni --- derivate direzionali, differenziale, differenziale totale, punto stazionario e teorema di Fermat, derivata seconda e derivate successive, formula di Taylor, hessiana e applicazioni a problemi di ottimizzazione. Diffeomorfismi e funzioni implicite: inversione locale e globale; teorema di Dini. 6. Equazioni differenziali ordinarie --- esistenza ed unicità in grande ed in piccolo; teorema di Peano; soluzioni massimali; crescita sub-lineare; dipendenza continua dai dati iniziali; studio qualitativo di equazioni scalari del primo ordine; sistemi lineari. Secondo semestre (6CFU) 1. Varietà differenziali --- Varietà immersa in uno spazio euclideo, spazio tangente. Massimi e minimi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 2. Misura ed integrale di Lebesgue --- Definizione di insieme misurabile e di misura di Lebesgue. Proprietà della misura di Lebesgue. Funzioni misurabili: definizione e principali proprietà . Definizione di integrale di Lebesgue e sue proprietà fondamentali. Teoremi di passaggio al limite: convergenza monotona e dominata. Integrali dipendenti da parametro: continuità e differenziabilità . Legame con l'integrale di Riemann. Formula di riduzione: teoremi di Tonelli e Fubini. Formula di cambiamento di variabili; coordinate sferiche e cilindriche. 3. Integrazione su superficie --- Misura e integrazione su una varietà parametriche. Formula di integrazione per sfere. Orientazione di una varietà e vettori normali. Frontiera regolare e aperti di classe Ck. Flusso uscente da un dominio; aperti stokiani; teorema della divergenza; formule di Green e di Stokes. 4. Campi vettoriali e forme differenziali di grado 1 --- Integrali curvilinei. Forme esatte. Forme chiuse. Omotopia di circuiti. Lemma di Poincaré. Aperti di Rn semplicemente connessi. 5. Complementi di Topologia --- Topologia prodotto, norma prodotto. Funzioni uniformemente continue; caso del dominio compatto. Relazioni tra completezza e compattezza.

L'esame consta in una prova scritta nella quale vengono proposti sia problemi di calcolo che problemi più teorici. Questi ultimi possono anche comprendere questioni sulla teoria generale presentata a lezione (definizioni, teoremi e relative dimostrazioni). Sono previste prove parziali alla fine di ogni semestre di lezione sulla parte di corso appena conclusa.

Si valutano comprensione, padronanza, competenze tecniche acquisite, chiarezza espositiva.

CONTENUTO NON PRESENTE

Primo semestre: sarà disponibile una dispensa integrale delle lezioni comprendente anche numerosi problemi proposti. Per ulteriori riferimenti bibliografici va bene qualsiasi testo comprendente gli argomenti previsti. Qualche consiglio: G. De Marco, Analisi Due, Decibel Zanichelli G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di Analisi Due, Decibel Zanichelli W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill (questo testo tuttavia non contiene materiale sulle equazioni differenziali). Secondo semestre: G. De Marco, Analisi Due, Decibel Zanichelli G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di Analisi Due, Decibel Zanichelli