Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA ORD. 2011


8

Curriculum ALGANT

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 32 32 0 136

Periodo

AnnoPeriodo
I anno1 semestre

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Inglese

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
02/10/201719/01/2018

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teorica avanzataMAT/038


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. BALDASSARRI FRANCESCOMAT/03Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

Non previsti.

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste.

Bollettino

Un corso standard di Algebra di livello base; sarebbe molto utile avere già seguito un breve corso di Teoria di Galois; Algebra Lineare; i corsi di Analisi 1 e 2. Sarebbe bene anche avere un po' di familiarità con le funzioni analitiche di una variabile complessa.

Corpi di numeri algebrici. Anelli degli interi algebrici; loro determinazione esplicita per corpi quadratici, ciclotomici (e di alcuni corpi cubici). Teoria elementare del discriminante e della ramificazione. Decomposizione di primi in anelli di Dedekind. Estensioni di corpi e decomposizione dei primi in una estensione. Estensioni di Galois di corpi di numeri e teoria di Hilbert. Gruppi di decomposizione e inerzia. Ideale differente e gruppi di ramificazione superiori. Estensioni abeliane e non ramificate. Frobenius. Determinazione esplicita dei sottogruppi di decomposizione e inerzia per ciascun primo in corpi ciclotomici. Sottocorpi quadratici dei corpi ciclotomici. La legge di reciprocità quadratica. Caratteri di gruppi abeliani finiti. Somme di Gauss. Teoria di Minkowski. Finitezza del gruppo di classi e teorema delle unità di Dirichlet. Regolatore. Esempi in casi semplici: unità dei corpi quadratici reali e equazione di Pell. Distribuzione degli ideali in un anello di interi algebrici: calcolo della costante nella formula asintotica. Teoria analitica delle serie di Dirichlet. Funzione zeta di Dedekind. Funzioni L di Dirichlet. Densità polare e densità di Dirichlet. La Formula del numero di classi. Valutazione delle serie L a 1 e somme di Gauss. Caso quadratico. Introduzione alla Teoria del Corpo di Classi.

Le 2 o 3 relazioni proposte durante il semestre saranno un controllo della comprensione del corso da parte dello studente. Molto spesso gli argomenti proposti saranno tratti da sezioni del libro indicate precedentemente, allo scopo di incoraggiare gli studenti a cimentarsi con gli esercizi del libro. A ogni studente è offerta l'opportunità di presentare un argomento concordato con il docente in una lezione di 45 minuti durante il corso. Si potrà cosí valutare la capacità espositive dello studente. L'eventuale esame orale finale consiste in una presentazione orale da svolgere in sede separata su un argomento scelto dal docente con un paio di ore di anticipo per la preparazione.

1. Teoria algebrica di base dei gruppi e anelli commutativi. 2. Fattorizzazione di elementi e di ideali 3. Domini di Dedekind. 4. Corpi di numeri algebrici. Corpi ciclotomici e quadratici. 5. Anelli di interi. Proprietà di fattorizzazione. 6. Estensioni finite, decomposizione, ramificazione. Teoria della decomposizione di Hilbert. 7. Automorfismo di Frobenius, mappa di Artin; 8. Corpi quadratici e ciclotomici. Legge di reciprocità quadratica. Somme di Gauss. 9. Una introduzione alla teoria del corpo di classi (da Kato-Kurokawa-Saito, Vol. 2 Cap. 5). 10. Teoria di Minkowski (finitezza del numero di classi e teorema delle unità). 11. Serie di Dirichlet, funzione zeta, valori speciali e formula per il numero di classi. Tutto il materiale si trova nel testo : Daniel A. Marcus "Number Theory", Springer-Verlag. La parte essenziale del programma consiste dei Capitoli da 1 a 5, con gli esercizi utilizzati nelle dimostrazioni. I capitoli 6 e 7 sono necessari per ottenere un voto molto buono. Le lunghe dimostrazioni analitiche reali dei capitoli 5/6/7 non saranno essenziali. È tuttavia necessaria una buona comprensione dei metodi di analisi complessa. Si raccomanda la lettura, a scopo culturale, dei due libri di Kato-Kurokawa-Saito, eventualmente saltandone le dimostrazioni.

Si proporrano 2 o 3 relazioni scritte durante il corso. Il loro scopo è di verificare la comprensione delle lezioni e l'interesse per la materia. Un esame scritto finale sarà proposto a chi non ha presentato relazioni soddisfacenti e a chi non sia soddisfatto del voto ottenuto. A ogni studente è offerta l'opportunità di presentare un argomento concordato con il docente in una lezione di 45 minuti durante il corso. Un esame orale finale è riservato a chi mira a voti eccezionali.

Si valuterà il grado di comprensione e di assimilazione del materiale presentato. Si apprezzeranno e valuteranno anche l'impegno di studio, l'interesse per la materia e la capacità di risolvere problemi.

Daniel A. Marcus, Number Fields. : Springer Universitext, 1977 Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Takeshi Saito, Number Theory 1 (Fermat's Dream) and Number Theory 2 (Introduction to Class Field Theory). : Translations of Math. Monographs Vol. 186 and 240 American Mathematical Society, 2011

E' possibile che uno studente trovi più semplice studiare uno o più argomenti in altri libri di testo o in note di corsi reperibili online. Quando possibile, l'insegnante darà indicazioni su dove reperire tale materiale.