Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA ORD. 2011

Analisi armonica

6

Curriculum Generale

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 32 16 0 102

Periodo

AnnoPeriodo
I anno2 semestre

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Inglese

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
26/02/201801/06/2018

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teorica avanzataMAT/056


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. CIATTI PAOLOMAT/05DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE, EDILE E AMBIENTALE - ICEA

Altri Docenti

Non previsti

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste

Bollettino

Analisi reale, qualche rudimento di analisi complessa in una variabile potrebbe essere utile.

Il corso sarà incentrato sulla teoria della restrizione della trasformata di Fourier. L’obiettivo del corso consiste infatti nel formulare e discutere la Congettura di Restrizione, uno dei più profondi problemi non risolti in Analisi Matematica. Cercheremo di realizzare questo obiettivo partendo dalla definizione della trasformata di Fourier sullo spazio euclideo n-dimensionale E e dallo studio delle sue proprietà elementari.

Lezioni frontali ed esercizi da risolvere per casa.

Una delle prime questioni affrontate in analisi armonica è stata l’analisi delle proprietà di limitatezza delltrasformata di Fourier tra spazi di Lebesgue. Questo problema è stato risolto agli inizi del ventesimo secolo attraverso la disuguaglianza di Hausdorff—Young, che dimostreremo e discuteremo. Il problema della restrizione è una generalizzazione di tale risultato e consiste nello studiare le proprietà di limitatezza della trasformata di Fourier tra spazi di Lebesgue su E e spazi di Lebesgue su sottovarietà S di E. Diversi fatti interessanti relativamente a tali proprietà di limitatezza sono stati scoperti da Elias Stein negli anni sessanta. L’osservazione fondamentale è che la curvatura di S gioca un ruolo importante: la sfera (n-1)-dimensionale è associata a disuguaglianze qualitativamente diverse da quelle associate a un disco della stessa dimensione. Una delle prime questioni affrontate in analisi armonica è stata l’analisi delle proprietà di limitatezza della trasformata di Fourier tra spazi di Lebesgue. Questo problema è stato risolto agli inizi del ventesimo secolo attraverso la disuguaglianza di Hausdorff—Young, che dimostreremo e discuteremo. Il problema della restrizione è una generalizzazione di tale risultato e consiste nello studiare le proprietà di limitatezza della trasformata di Fourier tra spazi di Lebesgue su E e spazi di Lebesgue su sottovarietà S di E. Diversi fatti interessanti relativamente a tali proprietà di limitatezza sono stati scoperti da Elias Stein negli anni sessanta. L’osservazione fondamentale è che la curvatura di S gioca un ruolo importante: la sfera (n-1)-dimensionale è associata a disuguaglianze qualitativamente diverse da quelle associate a un disco della stessa dimensione. Stein, dopo avere provato un risultato non banale in questo ambito, formulò una congettura che è stata provata in dimensione due da Charles Fefferman e che rimane aperta in dimensione maggiore o uguale a tre. Dopo avere studiato la dimostrazione dei teoremi di Stein e di Fefferman,vedremo che in dimensione alta la congettura di restrizione è legata a diversi altri problemi aperti (per esempio, al problema di Kakeya e alla congettura di Bochner—Riesz), che, compatibilmente con i limiti di tempo, cercheremo di discutere.

Esame orale

La valutazione del livello di apprendimento dello studente si basa sul risultato della prova orale.

Thomas H. Wolff, Lectures in harmonic analysis. : , Elias M. Stein with the assistance of Timothy S. Murph, Harmonic analysis real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals. Princeton: Princeton university press, 1993