Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA

Geometria 2

14

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 64 60 0 175

Periodo

AnnoPeriodo
II annoannuale

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
30/09/201912/06/2020

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teoricaMAT/0314


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Dott. CAILOTTO MAURIZIOMAT/03Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Prof. IOVITA ADRIANIstituzionaleMAT/03Dipartimento di Matematica

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste

Bollettino

Il corso ha come propedeuticita` il corso di Geometria 1 (algebra lineare e geometrie affini ed euclidea), e come prerequisiti anche i corsi di Algebra 1 e Analisi Matematica 1 (calcolo in una variabile). Si useranno anche alcuni argomenti svolti in parallelo nel corso di Analisi Matematica 2 (calcolo differenziale in due variabili).

Nella prima parte del corso lo studente acquisisce le nozioni fondamentali riguardanti lo studio delle forme bilineari e quadratiche, della Geometria Proiettiva (e relazioni con le Geometrie Affine ed Euclidea), delle proprieta` e classificazioni (proiettive, affini ed euclidee) di coniche e quadriche. Nella seconda parte acquisisce i concetti fondamentali di Topologia Generale, e della Geometria Differenziale delle curve e delle superficie immerse nello spazio euclideo tridimensionale.

Le lezioni sono svolte in modo tradizionale alla lavagna, integrando le lezioni di teoria con lezioni di esercitazioni; e` sempre invitata la partecipazione degli studenti sia alle lezioni, sia proponendo problemi su cui esercitarsi. Possibilmente sara` organizzato un tutorato specifico del corso per favorire una maggiore interazione. Durante il corso verranno anche proposti problemi non banali, ma che possono essere affrontati in base alle conoscenze sviluppate, con cui gli studenti piu` interessati potranno confrontarsi.

-- Forme Bilineari e Quadratiche: definizione e propriet`a delle forme bilineari e relazioni con le forme quadratiche. Matrici associate a forme bilineari; congruenza di matrici. Ortogonalita`, teorema di decomposizione ortogonale, basi ortogonali; vettori e sottospazi isotropi. Classificazione delle forme bilineari alternanti (spazi simplettici). Classificazione delle forme bilineari simmetriche complesse e reali. Nozione di isometria per forme bilineari alternanti e simmetriche non degeneri. Cenni sulle forme hermitiane complesse. Aggiunzione tra applicazioni lineari; morfismi autoaggiunti, normali; teorema spettrale (complesso e reale). -- Geometria Proiettiva: introduzione dei punti all'infinito. Spazi proiettivi, spazi duali, principio di dualita` proiettiva. Varieta` lineari proiettive, posizioni reciproche, formula di Grassmann. Applicazioni proiettive e proiettivita`. Rapporto tra spazi affini, euclidei e proiettivi. Retta proiettiva, birapporto, armonia, quarto armonico. Piano proiettivo e costruzioni classiche (costruzione del quarto armonico, quadrangoli e quadrilateri piani completi), teoremi di Pappo e di Desargues. -- Coniche e Quadriche: generalit`a, polarita` associata. Rette e piani tangenti. Duali. Classificazione proiettiva reale e complessa; razionalita` di coniche irriducibili. Classificazione affine reale e complessa, classificazione euclidea reale (metodo degli invarianti ortogonali). Fasci di coniche. Teorema di Pascal (duale: Brianchon). Schiere di rette sulle quadriche rigate; mappa di Segre. Cerchi sulle quadriche. -- Curve differenziali: regolarita`, parametrizzazioni, lunghezza d'arco, curvatura e torsione, riferimenti e formule di Frenet, teorema fondamentale di esistenza, esempi fondamentali. -- Superficie differenziabili: descrizioni locali, piani tangenti e differenziali di mappe, prima forma fondamentale, applicazioni di Gauss e di Weingarten, seconda forma fondamentale; curvature principali e di Gauss, tipi di punti; curve sulle superficie: linee di curvatura, asintotiche, geodetiche; equazioni differenziali delle geodetiche. Esempi fondamentali. -- Topologia: definizione (aperti, chiusi, intorni, operatori di chiusura e interno, filtri e reti, limiti), funzioni continue, proprieta` di numerabilita` e separazione, connessione, compattezza; spazi metrici e spazi completamente regolari; esempi e controesempi vari. -- Cenni sulle superficie reali compatte: classificazione topologica (orientabilita` e genere, caratteristica di Eulero Poincare').

L'esame prevede una prova scritta con cui si accede alla prova orale (obbligatoria per tutti), alla fine della quale si decide il voto. La prova scritta consiste nel risolvere esercizi e problemi su entrambe le parti del corso, e puo` essere sostenuta sia negli appelli ufficiali d'esame, sia tramite prove parziali durante lo svolgimento del corso.

La valutazione si basa sulla capacita` del candidato di risolvere esercizi di classificazione e studio degli oggetti geometrici introdotti (forme bilineari e quadratiche, spazi proiettivi, coniche e quadriche, curve e superficie differenziali), e di verificare le principali proprieta` di semplici spazi topologici. L'esame orale contribuisce alla valutazione dando al candidato la possibilita` di mostrare le competenze teoriche acquisite e la capacita` di applicarle in qualche caso specifico.

CONTENUTO NON PRESENTE

Aggiornamenti sull'andamento del corso, dispense aggiornate (che coprono l'intero programma, comprensive di problemi ed esercizi), ulteriori indicazioni bibliografiche, esami degli anni passati sono presenti sulla pagina web del docente (www.math.unipd.it/~maurizio/).