Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA

Analisi matematica 2

14

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 64 60 0 113

Periodo

AnnoPeriodo
II annoannuale

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
30/09/201912/06/2020

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teoricaMAT/0514


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. MONTI ROBERTOMAT/05Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Prof. LAMBERTI PIER DOMENICOIstituzionaleMAT/05Dipartimento di Matematica

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste

Bollettino

Il corso di Analisi Matematica 2 richiede la conoscenza degli argomenti di Analisi Matematica 1 e dell'algebra lineare.

Si acquisiscono competenze e abilità del calcolo differenziale e integrale in più variabili con elementi di teoria della misura di Lebesgue, integrali di volume e di superficie, integrali di 1-forme. Si introduce la teoria delle equazioni differenziali ordinarie, con particolare attenzione alle questioni di esistenza e unicità ed allo studio qualitativo delle soluzioni. Si riprende la teoria degli spazi metrici compatti e completi, con attenzione alla nozione di convergena uniforme.

L'insegnamento consiste in lezioni alla lavagna.

Primo semestre (8CFU): 1. Spazi metrici compatti e completi. Caratterizzazione dei compatti negli spazi metrici completi. Teorema delle contrazioni. Convergenza uniforme e Teorema di Ascoli-Arzela'. Spazi normati: norma e sue proprietà; esempi in dimensione finita ed infinita. 2. Convergenza uniforme. Successioni e serie di funzioni. Criteri di convergenza uniforme. Scambio dei limiti, scambio di limite e derivata/integrale. 3. Calcolo differenziale in piu' variabili. Derivate parziali e direzionali, differenziale, gradiente e matrice Jacobiana. Differenziale della funzione composta e teoremi del valor medio. Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana, formula di Taylor. Punti critici e punti di estremo locale. Condizioni necessarie e sufficienti di estremalita' locale. Funzioni convesse in piu' variabili. 4. Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni lineari, a variabili separabili ed altri modelli. Problema di Cauchy: esistenza ed unicita' usando il lemma delle contrazioni. Soluzioni massimali. Analisi qualitativa delle soluzioni. Dipendenza dai dati iniziali. Flussi di campi vettoriali. 5. Teoremi di invertibilita' e della funzione implicita. Diffeomorfismi locali e globali. Teorema di invertibilita' locale. Funzioni implicite e Teorema di Dini. Secondo semestre (6CFU) 1. Sottovarieta' differenziabili di R^n: varie definizioni e loro equivalenza. Definizioni di spazio tangente e loro equivalenza. Applicazioni a massimi e minimi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 2. Campi vettoriali e 1-forme differenziali. Integrali di 1-forme. Forme esatte. Forme chiuse. Omotopia di circuiti. Lemma di Poincaré. Aperti di Rn semplicemente connessi. 3. Misura ed integrale di Lebesgue. Definizione di insieme misurabile e di misura di Lebesgue. Proprietà della misura di Lebesgue. Definizione di integrale di Lebesgue e sue proprietà fondamentali. Teoremi di passaggio al limite: convergenza monotona e dominata. Integrali dipendenti da parametro: continuità` e differenziabilità . Legame con l'integrale di Riemann. Formula di riduzione: teoremi di Tonelli e Fubini. Formula di cambiamento di variabili; coordinate sferiche e cilindriche. 4. Integrazione su superficie. Misura e integrazione su varietà. Formula di integrazione per sfere. Orientazione di una varietà e vettori normali. Frontiera regolare e aperti di classe Ck. Flusso uscente da un dominio; aperti stokiani; teorema della divergenza; formule di Green e di Stokes.

Il corso e' suddiviso in parte A (primo semestre) e parte B (secondo semestre), che hanno prove di verifica distinte. Per ciascuna parte, l'esame consta in una prova scritta con problemi da risolvere ed eventuali domande di teoria, piu' una eventuale prova orale sulla teoria. La commissione proporra` allo studente un voto complessivo unico come media pesata delle prove della parte A e della parte B.

Verranno valutate la capacita' di risolvere problemi, la comprensione e la padronanza dei principali argomenti trattati nel corso, la conoscenza critica della teoria.

Marcellini, Paolo; Sbordone, Carlo, Esercitazioni di analisi matematica due. Bologna: Zanichelli, 2018, 0 De Marco, Giuseppe, Analisi due. Secondo corso di analisi matematica. Padova: Decibel, Bologna, Zanichelli [distributore], 1999 De Marco, Giuseppe; Mariconda, Carlo, Esercizi di analisi due. Padova: Decibel, Bologna, Zanichelli, 1998 N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica due. Napoli: Liguori, 1996

Le lezioni seguiranno gli appunti messi a disposizione on-line oppure i testi indicati come riferimento.