Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA

Geometria 1

14

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 64 60 0 113

Periodo

AnnoPeriodo
I annoannuale

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
30/09/201912/06/2020

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
baseFormazione matematica di baseMAT/0314


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof. CANDILERA MAURIZIOMAT/03Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
DA ASSEGNARE-N.D.

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste

Bollettino

Nessuno

Conoscenza delle nozioni fondamentali dell'algebra lineare e della loro interpretazione geometrica, con particolare attenzione al concetto di spazio vettoriale e di funzione lineare. Risoluzione di sistemi lineari, applicazioni dei determinanti, forma canonica di Jordan per endomorfismi. Studio di sottovarietà lineari dello spazio affine ed euclideo. Calcolo baricentrico e sue applicazioni. Calcolo del volume di simplessi dello spazio euclideo (Identità di Lagrange). Applicazioni affini e isometrie e loro rappresentazione tramite matrici. Applicazioni del Teorema Spettrale (per matrici simmetriche e normali). Classificazione delle isometrie del piano e dello spazio tridimensionale secondo Eulero.

Lezioni in aula con esercitazioni e risoluzione di problemi.

Introduzione all'Algebra lineare e alle sue applicazioni alla geometria dello spazio affine e euclideo di dimensione finita. Numeri Complessi: Piano di Gauss. Riflessioni rispetto a rette e cerchi. Cenni alle Trasformazioni di Moebius. Spazi Vettoriali: Sottospazi. Intersezione e somma. Indipendenza lineare. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate. Equazioni parametriche e cartesiane per un sottospazio. Relazioni di Grassmann. Spazio quoziente, proiezione canonica. Teoremi di Isomorfismo. Applicazioni Lineari e Matrici: Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Rango e formula delle dimensioni. Isomorfismi. Lo spazio vettoriale delle matrici mxn e la sua base canonica. Prodotto di matrici. Matrici invertibili e gruppo lineare generale. Matrice associata ad un'applicazione lineare. Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Matrici di cambiamento di base. Equivalenza tra matrici. Matrice trasposta. Spazio vettoriale duale ed applicazione trasposta. Sottospazi ortogonali. Prodotto tensoriale tra vettori e forme lineari. Sistemi Lineari: Teorema di Rouché-Capelli. Matrici Elementari ed operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe e matrici a scalini. Determinanti: Funzioni multilineari alternanti su uno spazio vettoriale di dimensione finita. Determinante di un endomorfismo e determinante di una matrice quadrata. Determinante ed invertibilità. Teorema di Binet. Sviluppi di Laplace e matrici inverse. Applicazioni della tecnica di Gauss al calcolo di determinanti. Alcuni determinanti notevoli. Forme Canoniche di Matrici: Classificazione per equivalenza e similitudine. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, primo criterio di diagonalizzabilità. Criterio di triangolarizzabilità. Teorema di Hamilton-Cayley, mappa di valutazione, polinomio mimimo. Teorema di decomposizione, secondo criterio di diagonalizzabilità, forme canoniche di Jordan, (tipo di nilpotenza). Geometria Affine: Spazio affine, riferimenti affini e coordinate, sottospazi affini, equazioni parametriche e cartesiane, formula di Grassmann affine. Calcolo baricentrico: descrizione baricentrica dei sottospazi affini. Rapporto semplice, teoremi di Ceva e Menelao. Applicazioni affini e affinità, applicazioni lineari associate e rappresentazione matriciale. Azione delle trasformazioni affini sui sottospazi affini; punti e sottospazi uniti per una affinità. Geometria Euclidea: prodotto scalare standard e sue proprietà, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e misura di angoli, ortogonalità, proiezione ortogonale, basi ortonormali, metodo di Gram-Schmidt, formula di Parseval; simmetrie e proiezioni ortogonali. Prodotto vettore nello spazio tridimensionale, sue proprietà; identità di Lagrange e sue generalizzazioni. Prodotto misto; calcolo di volumi di parallelepipedi e simplessi. Spazio affine Euclideo, ortogonalità, riferimenti ortonormali, distanza tra sottospazi affini, punti di minima distanza; calcoli di distanza, aree, volumi ed angoli; isometrie e similitudini (dirette e inverse), classificazione (di Eulero) delle isometrie. Matrici simmetriche e teorema spettrale reale. Equivalenza ortogonale per matrici rettangolari (valori singolari). Geometria Hermitiana: prodotto hermitiano standard e sue proprietà, norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, teoremi di Pitagora e Carnot hermitiani, vettori ortonormali, proiezioni ortogonali, basi ortonormali e formula di Parseval, gruppi unitario e unitario speciale. Matrici hermitiane, normali e teorema spettrale per matrici normali.

Prova scritta sui contenuti del corso e successiva prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di alcuni esercizi. LA prova orale nell'esposizione di alcuni dei risultati presentati nel corso e nel loro utilizzo.

Il voto finale si basa sui risultati delle prove scritte e orali. Viene valutata la capacità di risolvere problemi e la padronanza e l'autonomia acquisite nell'utilizzo dei contenuti e delle tecniche presentate durante il corso.

Bertapelle A, Candilera M, Algebra lineare e primi elementi di Geometria. Milano: McGraw-Hill, 2011 Kostrikin A I, Manin Yu I, Linear Algebra and Geometry. Moscow, London, New York: Gordon and Breach, 1989 Hoffmann K, Kunze R, Linear Algebra (2nd Edition). : Prentice Hall, 1971

Materiale di approfondimento e prove d'esame di anni precedenti si trovano nella pagina web dei docenti (in italiano) e nella pagina moodle del corso.