Presentazione

Organizzazione della Didattica

DM270
MATEMATICA

Fondamenti della Matematica

6

Corsi comuni

 

Frontali Esercizi Laboratorio Studio Individuale
ORE: 24 24 0 150

Periodo

AnnoPeriodo
III anno2 semestre

Frequenza

Facoltativa

Erogazione

Convenzionale

Lingua

Italiano

Calendario Attività Didattiche

InizioFine
02/03/202012/06/2020

Tipologia

TipologiaAmbitoSSDCFU
caratterizzanteFormazione teoricaMAT/046


Responsabile Insegnamento

ResponsabileSSDStruttura
Prof.ssa BONOTTO CINZIAMAT/04Dipartimento di Matematica

Altri Docenti

DocenteCoperturaSSDStruttura
Dott. ZOCCANTE SERGIOContrattoN.D.

Attività di Supporto alla Didattica

Non previste

Bollettino

Nozioni di base di algebra e di geometria. Conoscenze di teoria degli insiemi.

Conoscenza di alcune problematiche fondazionali della matematica, prendendo come paradigma alcune assiomatizzazioni della geometria e la costruzione dei numeri reali, date, ad esempio, le competenze richieste nelle Indicazioni Nazionali per i Licei (lo studente avrà acquisito il senso e la portata di “momenti che caratterizzano la formazione del pensiero matematico: - la matematica nella civiltà greca - il calcolo infinitesimale …”). Consapevolezza dei nodi concettuali, epistemologici e didattici della matematica, al fine di costruire un curriculum di matematica coerente con gli obiettivi fissati dalle Indicazioni Nazionali per i Licei.

Lezioni frontali. Discussioni collettive, con la partecipazione attiva degli studenti.

I principi della costruzione euclidea. L'influenza delle opere di Platone ed Aristotele negli Elementi di Euclide. Definizioni reali e definizioni nominali. L'algebra geometrica. La teoria delle proporzioni di Eudosso-Euclide. Applicazione parabolica, ellittica ed iperbolica delle aree. La trattazione delle grandezze commensurabili ed incommensurabili e la sua influenza nell'opera di Dedekind. Il metodo di esaustione ed il suo rapporto col successivo calcolo integrale. Evoluzione storica della questione delle parallele. L’opera di Saccheri. Nascita delle geometrie non euclidee. Ruolo di Gauss. La geometria iperbolica. La non contradditorietà (relativa) della geometria iperbolica: il modello di Poincaré. La legittimazione delle geometrie non euclidee. Discussione su come la scoperta delle geometrie non euclidee si ponga come una rottura rispetto alla tradizione “cumulativa” del sapere matematico e diventi un’occasione importante per ricostruire nella didattica della matematica quello che essa ha significato nella storia, e cioè di cambiare non solo la concezione delle geometria, ma di tutta la matematica. Il Programma di Erlangen di F. Klein. Sistemazioni moderne della geometria euclidea. I Grundlagen der Geometrie di D. Hilbert. Il problema della non contraddittorietà della geometria hilbertiana e della indipendenza degli assiomi o dei gruppi di assiomi. La “crisi dei fondamenti” della matematica. Programma fondazionale di Hilbert. Campi ordinati e campi ordinati archimedei. Campi ordinati completi. Sezioni di Dedekind. Successioni di Cauchy sui razionali e successioni di Cauchy regolari. Allineamenti in base b. Corrispondenza tra sezioni, successioni di Cauchy e allineamenti decimali. I numeri reali. Risultati sulla cardinalità dell'insieme R dei numeri reali (algebrici e trascendenti), delle parti di R, dell'insieme delle funzioni da R in R. Cardinalità di sottoinsiemi aperti e chiusi di reali. Irrazionalità di e e di pi greco. Trascendenza di e. Cenni sui teoremi di Dirichlet e di Liouville. Introduzione alla teoria della categorie: categorie, funtori, trasformazioni naturali, limiti e colimiti, ricorsione in una categoria, strutture interne in una categoria. Cenni su topos e sul rapporto tra teoria degli insiemi e teoria delle categorie.

Prova scritta e prova orale.

Viene valutata la conoscenza ma anche la capacità di inquadrare i contenuti presentati nel corso nel contesto storico entro cui si sono sviluppati, al fine di riuscire a presentarli secondo una metodologia didattica che favorisca una visione storico-critica dei rapporti tra le tematiche principali del pensiero matematico (come richiesto anche nelle Indicazioni Nazionali per i Licei).

Agazzi, Evandro; Palladino, Dario, Le geometrie non euclidee e i fondamenti della geometria dal punto di vista elementareEvandro Agazzi, Dario Palladino. Brescia: La scuola, 1998 MacLane, Saunders, Categories for the working mathematicianSaunders Mac Lane. New York: Springer, 1998

Oltre ai testi consigliati verrà fornito anche altro materiale di studio (slides delle lezioni, fotocopie, articoli, ecc).